Question

【題目】已知，函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，寫出的單調(diào)遞增區(qū)間（不需寫出推證過程）；

（2）當(dāng)時(shí)，若直線與函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)，記，求的最大值；

（3）若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，由此能求出的單調(diào)遞增區(qū)間;

（2）由，得當(dāng)時(shí)，的圖象與直線沒有交點(diǎn)；當(dāng) 或 時(shí)，y=f（x）的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，由此能求出的最大值;

（3）要使關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則，且，根據(jù)，且進(jìn)行分類討論能求出的取值范圍．

（1）當(dāng)時(shí)，

在和單調(diào)遞增

（2）因?yàn)?/span>x＞0，所以

（ⅰ）當(dāng)a＞4時(shí)，，函數(shù)的 ，

函數(shù)的圖像與直線y＝4沒有交點(diǎn)；

（ⅱ）當(dāng)a＝4時(shí)， ，函數(shù)的最小值是4，

的圖象與直線只有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 與有1個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)，不滿足條件；

（ⅲ）當(dāng)0＜a＜4時(shí)，

即

，

，

；

（ⅳ）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖：

由

得,

解得；

由，

得

解得.

所以.

綜上：的最大值是4.

（Ⅲ）要使關(guān)于的方程 （*）

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值得，解得，不成立，舍；

當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值 ，

化簡(jiǎn)為：，不成立，舍；

當(dāng)時(shí)，，，也不成立，舍；

.

（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由（*）得，

所以，不符合題意；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（*）得，其對(duì)稱軸，不符合題意；

（ⅲ）當(dāng)，且時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，，

整理為：，不成立，

當(dāng)時(shí)，

要使直線與函數(shù)圖像在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

只需滿足 ，

解得：；①

當(dāng)時(shí)

，

整理得： ，

若在區(qū)間方程有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，只需滿足

，

解得： ②，

綜上①②可知，的范圍是

綜上所述，a的取值范圍為.