Question

【題目】已知橢圓C： =1的左焦點F1的坐標為（﹣ ，0），F2是它的右焦點，點M是橢圓C上一點，△MF1F2的周長等于4+2 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過定點P（0，2）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且OA⊥OB（其中O為坐標原點），求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C： =1的左焦點F1的坐標為（﹣ ，0），

F2是它的右焦點，點M是橢圓C上一點，△MF1F2的周長等于4+2 ，

∴ ，

解得a=2，b=1，

∴橢圓C的方程為

（2）解：當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

△=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0，

由根與系數關系得x1+x2= ，x1x2= ，

∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

∴y1y2=k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4．

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，

∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，

∴ ﹣ +4=0，

解得k=±2，

∴直線l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2

【解析】（1）由已知得 ，由此能求出橢圓C的方程．（2）當直線l的斜率不存在時，不滿足題意．當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx﹣2，聯立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由此利用根的判別式、根與系數關系、向量知識，結合已知條件能求出直線l的方程．