Question

已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值.
(2)若，求的最小值；
(3)在(Ⅱ)上求證：.

Answer 1

（Ⅰ）或.
（Ⅱ）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（Ⅲ）當(dāng) 
。。

試題分析：（Ⅰ）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005804744599.png" style="vertical-align:middle;" />，，根據(jù)題意有，
所以解得或.          4分
（Ⅱ）
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824005804900391.png" style="vertical-align:middle;" />，由得，解得，
由得，解得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；    8分
（Ⅲ）由（2）知，當(dāng)a>0, 的最小值為
令  
當(dāng) 
。     13分
點(diǎn)評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得到證明不等式。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。