Question

已知：如圖，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分線交ＡＢ于點Ｅ，交ＡＤ于點Ｈ，交ＡＣ于點Ｇ，交ＢＣ的延長線于點Ｆ，求證：ＤＦ^２＝ＣＦ•ＢＦ．

Answer 1

同解析

證明：連ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　
　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，
　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，
　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴＝，
∴ＡＦ^２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ^２＝ＣＦ•ＢＦ．