Question

【題目】已知函數．

（1）若，證明：；

（2）若只有一個極值點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）將代入，可得等價于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；

（2）分，三種情況討論，分別對求導，其中又分①若②③三種情況，利用函數的零點存在定理可得a的取值范圍.

解：（1）當時，等價于，即；

設函數，則，

當時，；當時，．

所以在上單調遞減，在單調遞增．

故為的最小值，

而，故，即．

（2），

設函數 ，則；

（i）當時，，在上單調遞增，

又，取b滿足且，則，

故在上有唯一一個零點，

且當時，，時，，

由于，所以是的唯一極值點；

（ii）當時，在上單調遞增，無極值點；

（iii）當時，若時，；若時，．

所以在上單調遞減，在單調遞增．

故為的最小值，

①若時，由于，故只有一個零點，所以時，

因此在上單調遞增，故不存在極值；

②若時，由于，即，所以，

因此在上單調遞增，故不存在極值；

③若時，，即．

又，且，

而由（1）知，所以，

取c滿足，則

故在有唯一一個零點，在有唯一一個零點；

且當時，當時，，當時，

由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，

即在上有兩個極值點．

綜上，只有一個極值點時，的取值范圍是