Question

【題目】已知函數，在其定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個極值點為，且，證明：.

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

(1)由導數與極值的關系知題目可轉化為方程在有兩個不同根，轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，從而討論求解；

(2) 問題等價于，令，則，所以，設，，根據函數的單調性即可證明結論.

解：（1）由題意知，函數的定義域為，

方程在有兩個不同根；

即方程在有兩個不同根；

轉化為函數與函數的圖象在上有兩個不同交點，如圖．

可見，若令過原點且切于函數圖象的直線斜率為，只須．

令切點，

故，又

故，解得，，

故，故的取值范圍為

(2)由(1)可知分別是方程的兩個根，

即， ，作差得，即

對于，取對數得，即

又因為，所以，得

令，則，，即

設， ，，所以函數在上單調遞增，

所以，

即不等式成立，

故所證不等式成立．