Question

【題目】若在定義域內存在實數x0使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立則稱函數f（x）有“溜點x0”
（1）若函數 在（0，1）上有“溜點”，求實數m的取值范圍；
（2）若函數f（x）=lg（ ）在（0，1）上有“溜點”，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： 在（0，1）上有“溜點”，

即f（x+1）=f（x）+f（1）在（0，1）上有解，

即 在（0，1）上有解，

整理得 在（0，1）上有解，

從而h（x）=4mx﹣1與 的圖象在（0，1）上有交點，

故h（1）＞g（1），即 ，得

（2）解：由題已知a＞0，且 在（0，1）上有解，

整理得 ，又 ．

設 ，令t=2x+1，由x∈（0，1）則t∈（1，3）．

于是 則 ．

從而 ．

故實數a的取值范圍是

【解析】（1） 在（0，1）上有“溜點”，利用定義，推出 在（0，1）上有解，轉化h（x）=4mx﹣1與 的圖象在（0，1）上有交點，然后求解即可．（2）推出a＞0， 在（0，1）上有解，設 ，令t=2x+1，由x∈（0，1）則t∈（1，3），利用基本不等式求解 ，得到實數a的取值范圍．