Question

（2012•廣州二模）已知函數f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f(

α

2

)=

1

3

，f(

β

2

)=

2

3

，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化簡函數表達式，直接求出函數的周期．
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f(

α

2

)=

1

3

，f(

β

2

)=

2

3

，求sin（α-β）的值．

解答：解：（1）函數f（x）=（cosx+sinx）（cosx-sinx）=cos2x．
所以T=

2π

2

=π．
（2）若0＜α＜

π

2

，0＜β＜

π

2

，且f(

α

2

)=

1

3

，f(

β

2

)=

2

3

，
所以cosα=

1

3

，cosβ=

2

3

，
所以sinα=

1-( 1 3 )2

=

2 2

3

，
sinβ=

1-( 2 3 )2

=

5

3

，
所以sin（α-β）=sinαosβ-cosαsinβ=

2 2

3

×

2

3

-

1

3

×

5

3

=

4 2 - 5

9

．

點評：本題考查二倍角公式的應用，兩角差的正弦函數的應用，考查計算能力．