Question

如圖,某污水處理廠要在一個矩形污水處理池(ABCD)的池底水平鋪設污水凈化管道(Rt∆FHE,H是直角頂點)來處理污水,管道越長，污水凈化效果越好.設計要求管道的接口H是AB的中點，E,F分別落在線段BC,AD上.已知AB=20米，AD=10米，記∠BHE=θ.
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數,并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=，求此時管道的長度L；
（3）問：當θ取何值時，污水凈化效果最好？
并求出此時管道的長度.

Answer 1

解：（1）EH=，FH=     EF=  分
由于BE=10tanθ≤10, AF=≤10 故≤tanθ≤,θ∈[,]分
L=++，θ∈[,]
(2) sinθ+cosθ=時，sinθ•cosθ=,    L=20(+1);
(3)L=++    設sinθ+cosθ="t" 則sinθ•cosθ=
由于θ∈[,]，所以t=sinθ+cosθ=sin(θ+)∈[,]
L=在[,]內單調遞減，
于是當t=時，即θ=,θ=時L的最大值20(+1)米

略