Question

若不等式x+2

2xy

≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，則正數a的最小值為（　�。�

A．1

B．2

C． 2 + 1 2

D．2 2 +1

Answer 1

∵不等式x+2

2xy

≤a（x+y）對一切正數x、y恒成立，∴a≥(

x+2 2xy

x+y

)max．
令f（x，y）=

x+2 2xy

x+y

=

1+2 2 • y x

1+ y x

，x＞0，y＞0．
令

y

x

=t＞0，則g（t）=

1+2 2 t

1+t2

，g′(t)=

2 2 (1+t2)-(1+2 2 t)•2t

(1+t2)2

=

-2( 2 t2+t- 2 )

(1+t2)2

=

-2( 2 t-1)(t+ 2 )

(1+t2)2

，
令g′（t）=0，解得t=

2

2

，可知當t=

2

2

時，g（t）取得極大值即最大值，
g（t）=

1+2 2 × 2 2

1+( 2 2 )2

=2．
∴a≥2．
故a的最小值為2．
故選B．