Question

【題目】已知函數f（x）=ax+ +c是奇函數，且滿足f（1）= ，f（2）= ．
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數f（x）在區間（0， ）上的單調性并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）=﹣f（x）∴c=0，

∵ ，∴ ，

∴ ；

（2）解：∵由（1）問可得f（x）=2x+ ，

∴f（x）在區間（0，0.5）上是單調遞減的；

證明：設任意的兩個實數0＜x1＜x2＜ ，

∵f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+ ﹣ =2（x1﹣x2）+ = ，

又∵0＜x1＜x2＜ ，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，1﹣4x1x2＞0，

f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在區間（0，0.5）上是單調遞減的

【解析】（1）由函數是奇函數得到c=0，再利用題中的2個等式求出a、b的值．（2）區間（0， ）上任取2個自變量x1、x2 ， 將對應的函數值作差、變形到因式積的形式，判斷符號，依據單調性的定義做出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數奇偶性的性質的理解，了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．