Question

【題目】已知函數．

（1）若，求在處的切線方程；

（2）若在區間上恰有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求出，利用導數的幾何意義求切線斜率為，根據點斜式可得切線方程；（2）利用導數求出函數的極大值和極小值，利用在區間上恰有兩個零點列不等式組，求解不等式組即可求的取值范圍.

試題解析：（1）由已知得,

若時，有， ,

∴在處的切線方程為： ，化簡得.

（2）由（1）知，

因為且，令，得

所以當時，有，則是函數的單調遞減區間；、

當時，有，則是函數的單調遞增區間． 9分

若在區間上恰有兩個零點，只需，即,

所以當時， 在區間上恰有兩個零點.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數零點問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.