Question

某商家推出一款簡單電子游戲,彈射一次可以將三個相同的小球隨機彈到一個正六邊形的頂點與中心共七個點中的三個位置上(如圖),用S表示這三個球為頂點的三角形的面積.規定:當三球共線時,S=0;當S最大時,中一等獎,當S最小時,中二等獎,其余情況不中獎,一次游戲只能彈射一次.

（1）求甲一次游戲中能中獎的概率;
（2）設這個正六邊形的面積是6,求一次游戲中隨機變量S的分布列及期望值.

Answer 1

（1）；（2）S的可能值為:0,1,2,3,其分布列為

S	0	1	2	3
P

．

試題分析：（1）由題意可知，這是隨機變量的等可能事件的概率問題，彈射一次可以將三個相同的小球隨機彈到一個正六邊形的頂點與中心共七個點中的三個位置上共有種方法，當S最大時它的方法數有種，當S最小時，即共有種方法，一次游戲中能中獎的方法數有種，由古典概率求法可得甲一次游戲中能中獎的概率；（2）設這個正六邊形的面積是6,一次游戲中隨機變量S的可能值為:0,1,2,3,分別求出它們的概率，得分布列，進而可求得期望值．
試題解析：（1）甲中獎的概率為
（2）S的可能值為:0,1,2,3,其分布列為

S	0	1	2	3
P