Question

【題目】定義上的函數,若滿足:對任意,存在常數,都有成立,則稱是上的有界函數,其中稱為函數的上界.

(1)設,判斷在上是否有界函數,若是,請說明理由,并寫出的所有上界的值的集合,若不是,也請說明理由;

(2)若函數在上是以3為上界的有界函數,求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)若是,理由見解析,;(2).

【解析】

（1）化簡，從而可得，即，從而得解；

（2）由題意知在上恒成立，從而可得，再令，則，進而可得在上恒成立，從而化為最值問題.

(1),則在上是增函數,故

,即,

故,所以是有界函數.

所以,上界滿足,所有上界的集合是.

(2)因為函數在上是以3為上界的有界函數,

故在上恒成立,即,

所以,(),

所以(),

令,則,

故在上恒成立,

所以,(),

令,則在時是減函數,

所以;

令,則在時是增函數,

所以.

所以,實數的取值范圍是.