Question

【題目】如圖，已知橢圓C： (a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，若橢圓C經(jīng)過點(diǎn)(0，)，離心率為，直線l過點(diǎn)F2與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)N為△F1AF2的內(nèi)心（三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），求△F1NF2與△F1AF2面積的比值；

（3）設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)2，B在直線x＝4上的射影依次為點(diǎn)D，G， E．連結(jié)AE，BD，試問當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)T？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見解析.

【解析】分析：（1）由題可得b＝，＝，結(jié)合橢圓可得橢圓方程；（2）因?yàn)辄c(diǎn)N為△F1AF2的內(nèi)心，所以點(diǎn)N為△F1AF2的內(nèi)切圓的圓心，然后結(jié)合內(nèi)切圓的半徑表示三角形的面積可得面積比值；（3）分直線斜率不存在和斜率存在時(shí)兩種情況進(jìn)行討論，連立方程結(jié)合韋達(dá)定理求出AE方程得到定點(diǎn)再驗(yàn)證其在BD上即可得到結(jié)論.

解：（1）由題意，b＝，又因?yàn)?/span>＝，所以＝，解得a＝2，

所以橢圓C的方程為＋＝1.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)N為△F1AF2的內(nèi)心，

所以點(diǎn)N為△F1AF2的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)該圓的半徑為r.

則＝＝＝＝.

（3）若直線l的斜率不存在時(shí)，四邊形ABED是矩形，

此時(shí)AE與BD交于F2G的中點(diǎn)(，0)，

下面證明：當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)T(，0).

設(shè)直線l的方程為y＝k(x－1)，

化簡(jiǎn)得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，

因?yàn)橹本�l經(jīng)過橢圓C內(nèi)的點(diǎn)(1，0)，所以△＞0，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

則x1＋x2＝，x1x2＝.

由題意，D(4，y1)，E(4，y2)，

直線AE的方程為y－y2＝ (x－4)，

令x＝，此時(shí)y＝y(tǒng)2＋×(－4)＝

＝

＝

＝

＝

＝＝＝0，

所以點(diǎn)T(，0)在直線AE上，

同理可證，點(diǎn)T(，0)在直線BD上.

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD相交于定點(diǎn)T(，0).