Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)．
（1）當

m

∥

n

時，求

sinx+cosx

3sinx-2cosx

的值；
（2）設函數f（x）=（

m

+

n

）•

m

，求f（x）的單調增區間；
（3）已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，

3

c=2asin（A+B），對于（2）中的函數f（x），求f（B+

π

8

）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的條件，可得3sinx=-cosx，代入，即可得到結論；
（2）利用向量數量積公式化簡函數，結合正弦函數的單調增區間，可得f（x）的單調增區間；
（3）求出A的值，確定B的范圍，化簡函數，可得函數的值域．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(cosx，3)，

m

∥

n

∴3sinx=-cosx，
∴

sinx+cosx

3sinx-2cosx

=

sinx-3sinx

3sinx+6sinx

=-

2

9

；
（2）函數f（x）=（

m

+

n

）•

m

=（sinx+cosx，2）•（sinx，-1）=sin²x+sinxcosx-2
=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x-2=

2

sin（2x-

π

4

）-

3

2

由2kπ-

π

2

≤2x-

π

4

≤2kπ+

π

2

，可得kπ-

π

8

≤x≤kπ+

3π

8

∴f（x）的單調增區間為[kπ-

π

8

，kπ+

3π

8

]（k∈Z）；
（3）∵

3

c=2asin（A+B），
∴

3

sinC=2sinAsinC，
∴sinA=

3

2

∵A∈（0，π），∴A=

π

3

∵△ABC為銳角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

f（B+

π

8

）=

2

2

sin[2（B+

π

8

）-

π

4

]-

3

2

=

2

2

sin2B-

3

2

∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

3

＜2B＜π
∴0＜sin2B≤1
∴-

3

2

＜f（B+

π

8

）≤

2

2

-

3

2

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．