Question

（2012•上海二模）已知向量

m

=(sin(2x+

π

6

)，sinx)，

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若f（

B

2

）=

2 +1

2

，b=

5

，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用兩角和與差的直正弦函數(shù)公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，整理后得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，即可求出函數(shù)的最小正周期；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由（1）得出的解析式及f（

B

2

）=

2 +1

2

，求出sinB的值，再由b，c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由b大于c，得到C為銳角，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cosC的值，利用余弦定理列出關(guān)于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：（1）∵向量

m

=(sin(2x+

π

6

)，sinx)，

n

=（1，sinx），f（x）=

m

•

n

．
∴f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin²x=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

1

2

（1-cos2x）=

3

2

sin2x+

1

2

，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
令2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

（k∈Z），解得：kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

（k∈Z），
則f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+

π

4

，kπ+

3π

4

]（k∈Z）；
（2）由（1）確定的函數(shù)解析式，可得f（

B

2

）=

3

2

sinB+

1

2

=

2 +1

2

，
整理得：sinB=

6

3

，又b=

5

，c=

3

，
根據(jù)正弦定理得：sinC=

csinB

b

=

10

5

，
又b＞c，∴B＞C，即C為銳角，
∴cosC=

1-sin2C

=

15

5

，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：3=a²+5-2

3

a，即a²-2

3

a+2=0，
解得：a=

3

+1或a=

3

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用，涉及的知識(shí)有：兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)性，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．