Question

已知等差數列{a_n}的前n項和為S_n=pn²-2n+q（p，q∈R），n∈N₊．
（Ⅰ）求的q值；
（Ⅱ）若a₁與a₅的等差中項為18，b_n滿足a_n=2log₂b_n，求數列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令n=1得到a₁，然后當n≥2時，利用a_n=S_n-s_n-1得到a_n的通項公式，因為a₁符合n≥2時，a_n的形式，把n=1代入求出q即可；
（Ⅱ）a₁與a₅的等差中項為18得a3=

a1+a5

2

，求出a₃，代入通項公式求出p的值，得到a_n，把a_n代入到a_n=2log₂b_n，得到b_n的通項公式，發現{b_n}是首項為2，公比為16的等比數列，利用等比數列的求和公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=p-2+q
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2
∵{a_n}是等差數列，a₁符合n≥2時，a_n的形式，
∴p-2+q=2p-p-2，
∴q=0
（Ⅱ）∵a3=

a1+a5

2

，由題意得a₃=18
又a₃=6p-p-2，∴6p-p-2=18，解得p=4
∴a_n=8n-6
由a_n=2log₂b_n，得b_n=2^4n-3．
∴b1=2，

bn+1

bn

=

24(n+1)-3

24n-3

=24=16，即{b_n}是首項為2，公比為16的等比數列
∴數列{b_n}的前n項和Tn=

2(1-16n)

1-16

=

2

15

(16n-1)．

點評：考查學生會利用等差數列的前n+1項的和與前n項的和相減得到等差數列的通項公式，以及會求等比數列的前n項的和．