Question

若實數a、b、c、d滿足＝1，則(a－c)²＋(b－d)²的最小值為________．

Answer 1

(1－ln2)²

∵＝1，∴b＝a²－2lna，d＝3c－4，∴點(a，b)在曲線y＝x²－2lnx上，點(c，d)在曲線y＝3x－4上，(a－c)²＋(b－d)²的幾何意義就是曲線y＝x²－2lnx到曲線y＝3x－4上點的距離最小值的平方．考查曲線y＝x²－2lnx(x>0)平行于直線y＝3x－4的切線，∵y′＝2x－，令y′＝2x－＝3，解得x＝2，∴切點為(2，4－2ln2)，該切點到直線y＝3x－4的距離d＝就是所要求的兩曲線間的最小距離，故(a－c)²＋(b－d)²的最小值為d²＝(1－ln2)².