Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若直線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若存在，，使，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）由f′（x0）．可得切線方程為：y＝（）x+lnx0，與直線y＝2x完全相同，可得＝2，lnx0＝0．即可得出a．

（2）設(shè)t（x）＝ex﹣x，x∈R．t′（x）＝ex﹣1，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得0是函數(shù)t（x）的極小值點(diǎn)，可得．再由g（x2）＝0，解得x2，可得x1的范圍．從而問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax+1在x∈（1，+∞）上有零點(diǎn)．由f′（x）a．對(duì)a分類討論，研究其單調(diào)性即可得出．

（3）構(gòu)造函數(shù)F（x）＝x2+g（x）﹣f（x），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，

由，得，

所以切線方程為：，

即.

因?yàn)橹本�與函數(shù)的圖象相切，

所以，解得.

（2）設(shè)，則，令，得，

且當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在時(shí)取得極小值為0，即.

由，可得，

所以即為，

由題意可得：函數(shù)在上有零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)：

當(dāng)時(shí)，令，得.

①若，即時(shí)，在上恒成立，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，函數(shù)在上無零點(diǎn)：

②若，即時(shí)，

當(dāng)時(shí)，：當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，

因?yàn)?/span>，所以函數(shù)在上無零點(diǎn)：

又，

令，

則在上恒成立，

所以在上單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，且在的圖象連續(xù)不斷，

所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

即函數(shù)在上有零點(diǎn).

綜上所述，.

（3）當(dāng)時(shí)，，

令 ，

則，

令，則當(dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，

又，，

所以函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，

故，

由得：，

兩邊取對(duì)數(shù)得：，故，

所以，即.