Question

【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知，經(jīng)過原點，且斜率為正數(shù)的直線與圓交于兩點.

（ⅰ）求證： 為定值；

（ⅱ）求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）（ⅰ）見解析;（ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）由題意可知， ，解得，可求得半徑,得圓的方程.

（2）（i）設(shè)直線l的方程為，與圓的方程聯(lián)立，可得，利用韋達定理即可證明；
（ii）表示

再求最值即可.

試題解析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則，又，

由題意可知， ，則，

故，所以，即半徑.

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)直線的方程為，

由得： ，

所以， .

（ⅰ）為定值，

（ⅱ）

（當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立）

故的最大值為.

點睛:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．