Question

15．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，點A₁在底面ABC上的投影D恰好為BC的中點，AA₁與平面ABC所成角為45°，則該三棱柱的體積為（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 3
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 由已知可知，A₁D為三棱柱的高，且求得${A}_{1}D=\sqrt{3}$，再求出底面三角形ABC的面積，則體積可求．

解答 解：如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形．

∵D是點A₁在底面ABC上的投影，∴A₁D⊥底面ABC，
又D是BC中點，連接AD，則AD=$\sqrt{3}$，
又∵AA₁與平面ABC所成角為45°，即∠A₁AD=45°，
∴${A}_{1}D=AD=\sqrt{3}$，
∴${V}_{ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$．
故選：C．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了多面體體積的求法，是中檔題．