Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=

an 2 +n-1，(n為奇數) an-2n，(n為偶數)

記bn=a2n(n∈N*)
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）設cn=(22n-1-1)bn2，數列{c_n}的前n項和為{s_n}，若對任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，求實數λ取值范圍；
（3）設xn=

2n

n

bn，數列{x_n}的前n項和為T_n，若存在整數m，使對任意n∈N^*，且n≥2，都有T_3n-T_n＞

m

20

成立，求m的最大值．

Answer 1

分析：（1）由b_n=a_2n，知bn+1=a2n+1+1=

a2n+1

2

+(2n+1)-1=

a2n

2

=

1

2

bn，由a₁=1，知b1=a2=

1

2

a1=

1

2

，由此能導出數列{b_n}的通項公式．
（2）由cn=(22n-1-1)(

1

2

)n2=(

1

2

)(n-1)2-(

1

2

)n2，知Sn=c1+c2++cn=1-(

1

2

)n2，S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-(

1

2

)n2，若對于任意n∈N^*，不等式λ≥1+S_n恒成立，由此能求出λ的取值范圍．
（3）由xn=

2n

n

bn=

1

n

，知T3n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，則f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0，所以f（n）是增函數，由此能導出整數m的最大值為18．

解答：解：（1）b_n=a_2n，
bn+1=a2n+1+1=

a2n+1

2

+(2n+1)-1=

a2n

2

=

1

2

bn，
a₁=1，
∴b1=a2=

1

2

a1=

1

2

，
∴{b_n}是首項和公比都為

1

2

的等比數列，
故bn=(

1

2

)n（5分）
（2）cn=(22n-1-1)(

1

2

)n2=(

1

2

)(n-1)2-(

1

2

)n2，
S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-(

1

2

)n2，
若對于任意n∈N^*，
不等式λ≥1+S_n恒成立，
則λ≥2，
故λ的取值范圍是[2，+∞）．（9分）
（3）xn=

2n

n

bn=

1

n

，
T_3n-T_n=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
令f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

，
則f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0，
f（n+1）＞f（n），
∴f（n）是增函數
當n≥2時，
f(n)min=f(2)=

19

20

，

m

20

＜

19

20

，
故m＜19，
整數m的最大值為18．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的合理運用．