Question

已知橢圓＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.

(1)求橢圓的方程；

(2)設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為(－a,0).若|AB|＝，求直線l的傾斜角.

Answer 1

(1)由e＝＝，得3a²＝4c²，

再由c²＝a²－b²，解得a＝2b.

由題意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.

解方程組，得a＝2，b＝1.

所以橢圓的方程為＋y²＝1.

(2)由(1)可知點A的坐標是(－2,0).

設點B的坐標為(x₁，y₁)，直線l的斜率為k，

則直線l的方程為y＝k(x＋2).

于是A、B兩點的坐標滿足方程組，

消去y并整理，得

(1＋4k²)x²＋16k²x＋(16k²－4)＝0.

整理得32k⁴－9k²－23＝0，即(k²－1)(32k²＋23)＝0，解得k＝±1.

所以直線l的傾斜角為或.