Question

【題目】已知圓的方程為，直線l的方程為，點P在直線l上，過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B.

（1）若，求點P的坐標；

（2）求證：經過A，P，三點的圓必經過異于的某個定點，并求該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）和；（2）和

【解析】

（1）設，連接，分析易得，即有，解得的值，即可得到答案.

（2）根據題意，分析可得：過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，設的坐標為

，用表示過A，P，三點的圓為，結合直線與圓的位置關系，分析可得答案.

（1）根據題意，點P在直線l上，

設，連接，

因為圓的方程為，

所以圓心，半徑，

因為過點P作圓的切線PA，PB，切點為A，B；

則有，且，

易得，

又由，即，

則，即有，

解得或，即的坐標為和.

（2）根據題意，是圓的切線，則，

則過A，P，三點的圓為以為直徑的圓，

設的坐標為，，

則以為直徑的圓為，

變形可得：，

即，

則有，解得或，

則當和，時，恒成立，

則經過A，P，三點的圓必經過異于的某個定點，

且定點的坐標和.