Question

【題目】如圖，四棱錐中，，且.

（1）證明：平面平面；

（2）若是等邊三角形，，且四棱錐的體積為，求的面積.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）結合已知，利用線面垂直判定定理和面面垂直的判定定理進行證明即可；

（2）取的中點，由（1）結合面面垂直的性質定理、是等邊三角形，可以得到平面，再利用棱錐的體積公式，可以求出四邊形的邊長，最后利用勾股定理和三角形面積公式進行求解即可.

證明：（1）因為，

所以，，

因為，

所以，

因為，

所以平面，

因為平面，

所以平面平面.

解：（2）由（1）知，平面平面，

且平面平面，

取的中點，

因為是等邊三角形，

所以，

所以平面，

因為，，，

所以四邊形是矩形，

又因為四棱錐的體積為，

所以，解得，，

在中，，，，即，

同理，，

在等腰三角形中，.