Question

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點，現將與折起，使得平面及平面都與平面垂直．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作于，過點作于，連接，利用面面垂直的性質定理證明平面，平面，可得出，并證明出，可證明出四邊形為平行四邊形，于是有，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法可計算出二面角的余弦值．

（1）過點作于，過點作于，連接.

平面及平面都與平面垂直，

平面平面，，平面，平面，同理可證平面，.

矩形中，與全等，.

四邊形是平行四邊形，.

又平面，平面，平面；

（2）矩形中，，以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

則、、，

，，

設平面的法向量為，則，即，

令，得，則，

易得平面的法向量為，，

因此，二面角的余弦值為．