Question

省少年籃球隊(duì)要從甲、乙兩所體校選拔隊(duì)員。現(xiàn)將這兩所體校共20名學(xué)生的身高繪制成如下莖葉圖（單位：cm）:若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個(gè)子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個(gè)子”.

（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”中抽取5人，如果從這5人中隨機(jī)選2人，那么至少有一人是“高個(gè)子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個(gè)子”中隨機(jī)選3名隊(duì)員，用表示乙校中選出的“高個(gè)子”人數(shù)，試求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

（Ⅰ）;
（Ⅱ）的分布列如下：

	0	1	2	3

的期望為：.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可知這20名學(xué)生中有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，因?yàn)椴捎梅謱映闃拥姆椒◤闹谐槿?人，故抽取比例為.根據(jù)這個(gè)比例可以求“高個(gè)子”和“非高個(gè)子”所抽取的人數(shù).然后用古典概型公式可求出所要求的概率.
（Ⅱ）據(jù)題意可知，這是一個(gè)超幾何分布. 從乙校中選出“高個(gè)子”的人數(shù)的所有可能為0，1，2，3.
由超幾何分布公式可得：

進(jìn)而可得的分布列及期望.
試題解析：（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖可知這20名學(xué)生中有“高個(gè)子”8人，“非高個(gè)子”12人，用分層抽樣的方法從中抽取5人，則應(yīng)從“高個(gè)子”中抽取人，從“非高個(gè)子”中抽取人。
用表示“至少有一名‘高個(gè)子’被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名‘高個(gè)子’被選中”，所以.
（Ⅱ）依題意知，從乙校中選出“高個(gè)子”的人數(shù)的所有可能值為0，1，2，3.

因此，的分布列如下：

	0	1	2	3

所以的期望為：.
考點(diǎn)：1、莖葉圖；2、古典概型；3、超幾何分布；4、離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.