Question

市場營銷人員對過去幾年某商品的價格及銷售數量的關系作數據分析發現有如下規律：該商品的價格每上漲x%(x>0)，銷售數量就減少kx%(其中k為正常數)．目前該商品定價為每個a元，統計其銷售數量為b個．
(1)當k＝時，該商品的價格上漲多少，才能使銷售的總金額達到最大？
(2)在適當的漲價過程中，求使銷售總金額不斷增加時k的取值范圍.

Answer 1

(1) ab.(2) 0<k<1

由題意，價格上漲x%以后，銷售總金額為y＝a(1＋x%)·b(1－kx%)＝ [－kx²＋100(1－k)x＋10000]．
(1)當k＝時，y＝ (－x²＋50x＋10000)＝ [22500－(x－50)²]，
因此當x＝50，即價格上漲50%時，y取最大值ab.
(2)y＝[－kx²＋100(1－k)x＋10000]，此二次函數的圖象開口向下，對稱軸為x＝.
在適當漲價的過程中，銷售總金額不斷增加，即要求此函數當自變量x在{x|x>0}的一個子集內增大時，y也增大，因此 >0，解得0<k<1.