Question

【題目】已知拋物線C1：和圓C2：(x-6)2+(y-1)2=1，過圓C2上一點P作圓的切線MN交拋物線C，于M，N兩點，若點P為MN的中點，則切線MN的斜率k>1時的直線方程為（ ）

A.4x-3y-22=0B.4x-3y-16=0C.2x-y-11+5=0D.4x-3y-26=0

Answer 1

【答案】D

【解析】

設(shè)點和直線MN的方程為：，其中，則，聯(lián)立并結(jié)合韋達定理可得，，利用直線MN與圓C2相切，則有，再根據(jù)直線C2P與直線MN垂直，則，消去n化簡可得，降次整理可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)性可證明在無解，故可得，代入可求n，從而可求直線MN的方程.

畫出曲線圖像如下圖：

由題意知，切線MN的斜率k存在且不為0，設(shè)點，

設(shè)直線MN的方程為：，其中，則，

聯(lián)立，可得，

則有，，，

根據(jù)中點坐標(biāo)公式可得，，，

又直線MN與圓C2相切，則有，即①，

依題意，直線C2P與直線MN垂直，則，

整理得②，

將②代入①并整理得，，

降次化簡可得，③，

令，

則，因為，

所以，即在單調(diào)遞減，

則在上恒成立，即在無解，

從而③式的解只有一個，，代入②式可得，，

所以，直線MN的方程為：，整理得，4x-3y-26=0.

故選：D.