Question

【題目】設函數f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它們在x＝1處的切線互相平行.

(1)求b的值；

(2)若函數且方程F(x)＝a2有且僅有四個解，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由和 在處的切線互相平行得， ，解方程求出值．
（2）分別求出求出的極值和的極值，結合單調性畫出的圖象，結合圖象可得若方程有四個解，則 ，解不等式求得實數的取值范圍．

試題解析：函數g(x)＝bx2－ln x的定義域為(0，＋∞)，

(1)f′(x)＝3ax2－3af′(1)＝0，

g′(x)＝2bx－g′(1)＝2b－1，

依題意得2b－1＝0，所以b＝.

(2)x∈(0，1)時，g′(x)＝x－＜0，

即g(x)在(0，1)上單調遞減，

x∈(1，＋∞)時，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上單調遞增，所以當x＝1時，g(x)取得極小值g(1)＝；當a＝0時，方程F(x)＝a2不可能有四個解；

當a＜0，x∈(－∞，－1)時，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上單調遞減，x∈(－1，0)時，f′(x)＞0，

即f(x)在(－1，0)上單調遞增，

所以當x＝－1時，f(x)取得極小值f(－1)＝2a，

又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖①所示，

從圖象可以看出F(x)＝a2不可能有四個解.

當a＞0，x∈(－∞，－1)時，f′(x)＞0，

即f()在(－∞，－1)上單調遞增，

x∈(－1，0)時，f′(x)＜0，

即f(x)在(－1，0)上單調遞減，

所以當x＝－1時，f(x)取得極大值f(－1)＝2a.又f(0)＝0，所以F(x)的圖象如圖②所求，

從圖②看出，若方程F(x)＝a2有四個解，則＜a2＜2a，

得＜a＜2，

所以，實數a的取值范圍是.