Question

設(shè)向量

a

=(sinx，1)，

b

=(1，cosx)，記f(x)=

a

•

b

，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）求函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值和最小正周期；
（II）若f（x）=2f′（x），求

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算寫出函數(shù)f（x）的解析式，對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)后代入到函數(shù)F（x）中化簡為y=Asin（wx+ρ）+b的形式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到答案．
（2）對(duì)f（x）=2f′（x）進(jìn)行整理，可以得到x的正切值，然后對(duì)

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

分子分母同時(shí)除以tan²x得到tanx的關(guān)系式，即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）=sinx+cosx
∴f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x
=1+

2

sin(2x+

π

4

)
∴當(dāng)2x+

π

4

=2kπ+

π

2

?x=kπ+

π

8

（k∈Z）時(shí)，
F(x)max=1+

2

最小正周期為T=

2π

2

=π
（2）∵f（x）=2f′（x）?sinx+cosx=2cosx-2sinx
∴cosx=3sinx?tanx=

1

3

∴

1+2sin2x

cos2x-sinxcosx

=

3sin2x+cos2x

cos2x-sinxcosx

=

3tan2x+1

1-tanx

=

2

2 3

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算、求導(dǎo)運(yùn)算、兩角和與差的正弦公式等內(nèi)容．向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的熱點(diǎn)，每年必考，要給予重視．