Question

設向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=（cosx，cosx），(0＜x＜

π

2

)．
（1）若

a

∥

b

，求tanx的值；
（2）求函數f（x）=

a

•

b

的周期和函數最大值及相應x的值．

Answer 1

分析：（1）利用

a

∥

b

的充要條件得到sinxcosx-

3

cos2x=0，化簡求出tanx的值；
（2）利用向量的數量積公式求出f（x）的解析式，利用兩個角和的正弦公式及二倍角公式化簡f（x），利用周期公式求出周期；利用整體角處理的思路求出函數的最大值．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，
∴sinxcosx-

3

cos2x=0，
∵0＜x＜

π

2

，
∴cosx≠0，
∴sinx-

3

cosx=0，
∴tanx=

sinx

cosx

=

3

．
（2）f（x）=

a

•

b

=sinxcosx+

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
∴T=

2π

2

=π．
∵x∈(0，

π

2

)，
2x+

π

3

∈(

π

3

，

4

3

π)
∴當2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，f（x）取得最大值，最大值為sin

π

2

+

3

2

=1+

3

2

點評：本題考查向量共線的充要條件、向量的數量積公式；考查求三角函數的性質問題應該先化簡三角函數含一個角一個函數名的形式，屬于一道中檔題．