Question

設向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=(cosx，cosx)．
（1）若

a

∥

b

（0＜x＜

π

2

），求tanx的值；
（2）求函數f（x）=

a

•

b

的最小正周期和函數在x∈(0，

π

2

)的最大值及相應x的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量平行的性質可得 sinxcosx-

3

cos²x=0，再由 0＜x＜

π

2

，以及同角三角函數的基本關系求得tanx的值．
（2）利用兩個向量的數量積公式以及兩角和差的正弦公式求得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，由此求得它的最小正周期．再根據正弦函數的定義域和值域，求得函數的最大值．

解答：解：（1）∵向量

a

=(sinx，

3

cosx)，

b

=(cosx，cosx)，

a

∥

b

，∴sinxcosx-

3

cos²x=0．
∵0＜x＜

π

2

，∴sinx-

3

cosx=0，tanx=

sinx

cosx

=

3

．
（2）函數f（x）=

a

•

b

=sinxcosx-

3

cos²x=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，故它的最小正周期為

2π

2

=π．
再由 x∈(0，

π

2

)，可得 2x+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
故當 2x+

π

3

=

π

2

時，函數取得最大值為

3

2

，此時，x=

π

12

．

點評：本題主要考查兩個向量平行的性質，兩個向量的數量積公式，兩角和差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．