Question

【題目】若定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=﹣f（x），則下列結(jié)論： ①f（x）的圖象關于點 對稱；
②f（x）的圖象關于直線 對稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2個它的一個周期；
④f（x）在區(qū)間（﹣1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號是 ． （填上你認為所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：f（2+x）=﹣f（x+1）=f（x）， ∴函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故③是正確的．
∵f（x）為定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（x）函數(shù)圖象關于原點對稱，
∵f（x）為周期函數(shù)，周期為2且f（1+x）=﹣f（x），
∴f（x）函數(shù)圖象關于點（k，0）（k∈Z）對稱，故①不對．
∵f（1+x）=﹣f（x）
∴f（x+ ）=f（x﹣ +1）=﹣f（x﹣ ）=f（ ﹣x）
∴f（x）的圖象關于直線 對稱，故②正確．
f（x）在區(qū)間（﹣1，0）上和在（0，1）上均為單調(diào)函數(shù)，但在（﹣1，1）不是單調(diào)函數(shù)，故④不正確．
【考點精析】認真審題，首先需要了解奇偶性與單調(diào)性的綜合(奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性)．