Question

已知四棱錐底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD， AD＝2，AB＝1，E．F
分別是線段AB．BC的中點，

（1）證明：PF⊥FD；
（2）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；．
（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）見解析（2）滿足AG＝AP的點G為所求（3）

(1)證明FD平面PAF即可.
(2)取AD的四分之一分點N，使m則EN//DF，然后再取PA的四分之一分點，使,即是所求G點位置.易證EG//平面PFD.
(3)利用空間向量法求解即可.要把二面角兩個面的法向量求出來，然后再求法向量的夾角.
解：（1）證明：連接AF，則AF＝，DF＝，
又AD＝2，∴DF²＋AF²＝AD²，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，
……………4分
（2）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．
再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，
∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．
從而滿足AG＝AP的點G為所求．………………8分
（3）建立如圖所示的空間直角坐標系，

因為PA⊥平面ABCD ，所以是與平面所成的角．又有已知得，所以，所以．
設平面的法向量為，由
得，令，解得：．
所以．又因為，所以是平面的法向量，易得，所以．
由圖知，所求二面角的余弦值為．……………………12分