Question

【題目】如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的閏面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M為CE的中點．

（1）求證：BM∥平面ADEF；
（2）求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取DE中點N，連接MN，AN

在△EDC中，M、N分別為EC，ED的中點，所以MN∥CD，且MN= CD．

由已知AB∥CD，AB= CD，所以MN∥AB，且MN=AB．

所以四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN

又因為AN平面ADEF，

且BM平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF．

（2）解：以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系．

B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2），平面ADEF的一個法向量為 =（0，1，0）．

設 =（x，y，z）為平面BEC的一個法向量，因為 =（﹣2，2，0）， =（0，﹣4，2）

∴ 令x=1，得y=1，z=2

所以 =（1，1，2）為平面BEC的一個法向量

設平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ

則cosθ= =

所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為

【解析】（1）取DE中點N，連接MN，AN，由三角形中位線定理，結合已知中AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，易得四邊形ABMN為平行四邊形，所以BM∥AN，再由線面平面的判定定理，可得BM∥平面ADEF；（2）以D為原點，DA，DC，DE所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．