Question

已知P是雙曲線

x2

4

-

y2

b2

=1 (b＞0)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂是左右焦點(diǎn)，△P F₁F₂的三邊長成等差數(shù)列，且∠F₁PF₂=120°，則雙曲線的離心率等于

7

2

．

Answer 1

分析：由題意，可根據(jù)雙曲線的定義及題設(shè)中三邊長度成等差數(shù)列得出方程|PF₁|-|PF₂|=4與2|PF₁|=|PF₂|+2c，由此兩方程可解出|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8，再由∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理建立關(guān)于c的方程，解出c的值，即可由公式求出離心率的值．

解答：解：由題，不妨令點(diǎn)P在右支上，如圖，則有
|PF₁|-|PF₂|=4  ①
2|PF₁|=|PF₂|+2c   ②
由①②解得|PF₁|=2c-4，|PF₂|=2c-8
又∠F₁ P F₂=120°，由余弦定理得
4c²=（2c-4）²+（2c-8）²+（2c-4）×（2c-8）
解得，c=7或c=2（舍）
又a=2，故e=

7

2

故答案為

7

2

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)及等差數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基礎(chǔ)知識且能靈活選用基礎(chǔ)知識建立方程求參數(shù)，本題考查了方程的思想及轉(zhuǎn)化的思想