Question

【題目】已知，， （x≥0）成等差數列．又數列{an}（an＞0）中，a1＝3，此數列的前n項的和Sn（n∈N*）對所有大于1的正整數n都有Sn＝f（Sn－1）．

（1）求數列{an}的第n＋1項；

（2）若是，的等比中項，且Tn為{bn}的前n項和，求Tn．

Answer 1

【答案】（1）an＋1＝6n＋3 （2）

【解析】

試題分析：（1）由，， （x≥0）成等差數列，利用等差數列定義得到f（x）的函數解析式，再利用Sn＝f（Sn－1）得到數列an的關于前n項和式子，在有前n項和求出數列的第n+1項；（2）由于是的等比中項，所以可以利用等比中項的定義得到數列bn的通項公式，在利用裂項相消法可以求{bn}的前n項和Tn．

試題解析：（1）∵，， （x≥0）成等差數列，

∴×2＝＋ ．1分

∴f（x）＝（＋）2．

∵Sn＝f（Sn－1）（n≥2），

∴Sn＝f（Sn－1）＝（＋）2． 3分

∴＝＋，－＝．

∴{}是以為公差的等差數列． 5分

∵a1＝3，所以S1＝a1＝3．

∴＝＋（n－1）＝＋－＝n． 7分

∴Sn＝3n2（n∈N*）．所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝3（n＋1）2－3n2＝6n＋3． 8分

（2）∵數列是，的等比中項，

∴（）2＝·， 10分

∴bn＝＝=．

∴Tn＝b1＋b2＋＋bn＝12分

＝＝． 14分