Question

已知f（x）=lg（1+x）+alg（1-x）是奇函數．
（1）求f（x）的定義域
（2）求a的值；
（3）當k＞0時，解關于x的不等式f(x)≥lg

1+x

k

．

Answer 1

分析：（1）解不等式組

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1．
（2）根據奇函數的定義可得 f（-x）+f（x）=0，故（1+a）lg（1-x）-（1+a）lg（1+x）=0 對定義域內的所有的x都成立，故1+a=0，解得a的值．
（3）f（x）=lg

1+x

1-x

，不等式即  lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，即

(x+1)[x-(1-k)]

x-1

≤0，各個因式的根分別為-1，1，1-k，由條件可得 1-k＜1．分0＜k＜2和k≥2兩種情況，結合函數的定義域，用穿根法求得解集．

解答：解：（1）由

1+x＞0 1-x＞0

 可得-1＜x＜1，故f（x）的定義域為（-1，1）．
（2）f（x）=lg（1+x）+alg（1-x），根據奇函數的定義可得 f（-x）+f（x）=0，
∴lg（1-x）+alg（1+x）+[lg（1+x）+alg（1-x）]=（1+a）lg（1-x）-（1+a）lg（1+x）=0 對定義域內的
所有的x都成立，故1+a=0，故a=-1．
（3）由以上可得 f（x）=lg

1+x

1-x

，不等式即  lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，∴

1+x

1-x

≥

1+x

k

＞0，
即

(x+1)[x-(1-k)]

x-1

≤0，各個因式的根分別為-1，1，1-k．∵k＞0，∴1-k＜1．
當0＜k＜2時，1-k＞-1，結合函數的定義域，用穿根法求得 1-k≤x＜1．
當k≥2時，1-k≤-1，結合函數的定義域，用穿根法求得-1＜x＜1．
綜上，當0＜k＜2時，不等式的解集為[1-k，1）；當 k≥2時，不等式的解集為（-1，1）．

點評：本題考查對數函數的定義域，奇函數的定義，對數函數的單調性和特殊點，體現了分類討論的數學思想，解不等式
 lg

1+x

1-x

≥lg

1+x

k

，是解題的難點．