Question

（2012•上海）已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范圍；
（2）若g（x）是以2為周期的偶函數，且當0≤x≤1時，g（x）=f（x），求函數y=g（x）（x∈[1，2]）的反函數．

Answer 1

分析：（1）應用對數函數結合對數的運算法則進行求解即可；
（2）結合函數的奇偶性和反函數知識進行求解．

解答：解：（1）f（1-2x）-f（x）=lg（1-2x+1）-lg（x+1）=lg（2-2x）-lg（x+1），
要使函數有意義，則
由

2-2x＞0 x+1＞0

解得：-1＜x＜1．
由0＜lg（2-2x）-lg（x+1）=lg

2-2x

x+1

＜1得：1＜

2-2x

x+1

＜10，
∵x+1＞0，∴x+1＜2-2x＜10x+10，
∴-

2

3

＜ x＜

1

3

．
由

-1＜x＜1 - 2 3 ＜x＜ 1 3

得：-

2

3

＜x＜

1

3

．
（2）當x∈[1，2]時，2-x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x-2）=g（2-x）=f（2-x）=lg（3-x），
由單調性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3-10^y，
∴所求反函數是y=3-10^x，x∈[0，lg2]．

點評：本題考查對數的運算以及反函數與原函數的定義域和值域相反等知識，屬于易錯題．