Question

【題目】已知二次函數f（x）=mx2﹣2x﹣3，關于實數x的不等式f（x）≤0的解集為（﹣1，n）
（1）當a＞0時，解關于x的不等式：ax2+n+1＞（m+1）x+2ax；
（2）是否存在實數a∈（0，1），使得關于x的函數y=f（ax）﹣3ax+1（x∈[1，2]）的最小值為﹣5？若存在，求實數a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由不等式mx2﹣2x﹣3≤0的解集為（﹣1，n）知

關于x的方程mx2﹣2x﹣3=0的兩根為﹣1和n，且m＞0

由根與系數關系，得 ∴ ，

所以原不等式化為（x﹣2）（ax﹣2）＞0，

①當0＜a＜1時，原不等式化為 ，且 ，解得 或x＜2；

②當a=1時，原不等式化為（x﹣2）2＞0，解得x∈R且x≠2；③

④當a＞1時，原不等式化為 ，且 ，解得 或x＞2；

綜上所述

當0＜a≤1時，原不等式的解集為 或x＜2}；

當1＜a＜2時，原不等式的解集為{x|x＞2或 ．

（2）解：假設存在滿足條件的實數a，

由（1）得：m=1，

∴f（x）=x2﹣2x﹣3，

∴y=f（ax）﹣3ax+1

=a2x﹣2ax﹣3﹣3ax+1

=（ax）2﹣（3a+2）ax﹣3，

令ax=t，（a2≤t≤a），

則y=t2﹣（3a+2）t﹣3

∴對稱軸為：t= ，

又0＜a＜1，

∴a2＜a＜1，1＜ ＜ ，

∴函數y=t2﹣（3a+2）t﹣3在[a2，a]遞減，

∴t=a時，y最小為：y=﹣2a2﹣2a﹣3=﹣5，

解得：a= ，

【解析】（1）根據韋達定理得方程組求出m，n的值，再通過討論a的范圍，從而求出不等式的解集；（2）把m=1代入方程，得出y=（ax）2﹣（3a+2）ax﹣3，令ax=t，（a2≤t≤a），則y=t2﹣（3a+2）t﹣3，得出函數的單調性，從而表示出y=f（t）的最小值，進而求出a的值．
【考點精析】關于本題考查的二次函數的性質，需要了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能得出正確答案．