Question

【題目】如圖,在正方體中.

(1)求證:平面平面;

(2)試找出體對角線與平面和平面的交點,并證明:.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】

(1)先由平行四邊形得線線平行,由線面平行判定定理再證得線面平行,找到兩條相交線運用面面平行的判定定理證明結(jié)果.

(2)連接輔助線,由中點構(gòu)造出三角形的中位線,這樣證明得到線段相等,運用同樣的方法來證明另外兩條線段相等,即得證三條線段相等.

解析 (1)證明:因為在正方體中,,

所以四邊形是平行四邊形,所以.

又因為平面,平面,所以平面.

同理平面.又因為,平面,平面,所以平面平面 .

(2)如圖,連接交于點,連接與交于點E.又因為平面,所以點E也在平面內(nèi),所以點E就是與平面的交點;連接交于點O,連接與交于點F,則點F就是與平面的交點.

下面證明:

因為平面平面,平面平面,

平面平面,所以.在中,是的中點,所以E是的中點,即;同理可證,所以F是的中點,即,所以.