Question

【題目】某工藝品廠要設計一個如圖1所示的工藝品，現有某種型號的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設△ADP的面積為S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時，應怎樣設計材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應怎樣設計材料的長和寬？

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則 ．

當且僅當 時，S2取得最大值．

故當材料長為 ，寬為 時，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴關于x的函數 在 上遞增，在 上遞減，

∴當 時，S1+2S2取得最大值．

故當材料長為 ，寬為 時，S1+2S2最大

【解析】（Ⅰ）設DP=y，根據圖2將PC、AD用x，y表示，由圖1可知，則PA=PC，在中，根據勾股定理列出等式；（Ⅱ）利用均值定理即可求解；（Ⅲ）構造函數F（t）=lnt-，利用導數討論函數F（t）的單調性.