Question

【題目】已知函數f（x）=x﹣1+aex ．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求f（x）的極值；
（3）當a=1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣1沒有公共點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x﹣1+aex．求導，f′（x）=1+aex．

由f′（1）=0，1+ae=0，解得：a=﹣ ，

∴a的值﹣

（2）解：當a≥0，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在R上是增函數，無極值；

當a＜0時，令f′（x）=0，則ex=﹣ ，x=ln（﹣ ），

x＜ln（﹣ ），f′（x）＞0；當x＞ln（﹣ ），f′（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，ln（﹣ ））上單調遞增，在（ln（﹣ ），+∞）單調遞減，

f（x）在x=ln（﹣ ）處取極大值，且極大值f（ln（﹣ ））=﹣ln（﹣a）﹣2，無極小值

（3）解：當a=1時，f（x）=x﹣1+ex．

令g（x）=f（x）﹣（kx﹣1）=（1﹣k）x+ex，

由題意可知：g（x）=0無實數解，

假設k＜1，此時g（0）=1＞0，g（ ）=﹣1+ ＜0，

由函數g（x）的圖象連續不斷，由函數零點存在定理g（x）=0在R上至少有一解，

與方程g（x）=0，在R上沒有實數解矛盾，故k≥1，

由k=1時，g（x）=ex，可知方程g（x）=0在R上沒有實數解，

∴k的取值范圍[1，+∞）

【解析】（1）求導，由題意可知f′（1）=0，即可求得a的值；（2）由（1）可知：分類討論，根據導數與函數的單調性及極值的關系，即可求得f（x）的極值；（3）由題意可知g（x）=（1﹣k）x+ex=0無實數解，求導，根據函數的單調性及函數零點的判斷，即可求得k的取值范圍．
【考點精析】利用函數的極值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．