Question

（本小題滿分12分）
已知函數在處取得極值為2，設函數圖象上任意一點處的切線斜率為k。
（1）求k的取值范圍；
（2）若對于任意，存在k，使得，求證：

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）成立 。

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）中，函數在處取得極值為2那么可知道a,b的值，求解得到解析式。然后分析范圍
（2）根據由于，故只需要證明時結論成立
由，得，構造函數的思想，利用導數來得到證明。
解：（Ⅰ）
由及得，                         （2分）

設，得                         （4分）
（Ⅱ），令
的增區間為，故當時，.
即，故                                       （6分）
(法一)由于，故只需要證明時結論成立
由，得，
記，則
，則，
設，，
為減函數，故 為減函數
故當時有，此時，為減函數
當時，為增函數
所以為的唯一的極大值，因此要使，必有
綜上，有成立                                     （12分）
（法二） 由已知：        ①
下面以反證法證明結論：
假設，則，
因為，，所以，
又，故
與①式矛盾
假設，同理可得
與①式矛盾
綜上，有成立                                  （12分）