Question

【題目】已知函數， .

（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數的極值；

（Ⅱ）設函數.當時，若區間上存在，使得，求實數的取值范圍.（為自然對數底數）

Answer 1

【答案】(1) 極小值為;(2) 實數的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）根據函數的切線的幾何意義，得到，即，解得.從而得到導函數，再研究導函數的正負，得到原函數的單調性從而得到極值；（2）構造函數令 ，只需在區間上的最小值小于零，轉化為函數最值問題。對構造的函數求導，研究單調性求最值即可。

（1），

因為曲線在點處的切線與直線的垂直，

所以，即，解得.

所以.

∴當時， ， 在上單調遞減；

當時， ， 在上單調遞增；

∴當時， 取得極小值，

∴極小值為.

（2）令 ，

則，欲使在區間上上存在，使得，

只需在區間上的最小值小于零.

令得， 或.

當，即時， 在上單調遞減，則的最小值為，

∴，解得，

∵，∴；

當，即時， 在上單調遞增，則的最小值為，

∴，解得，∴；

當，即時， 在上單調遞減，在上單調遞增，

則的最小值為，

∵，∴.

∴，此時不成立.

綜上所述，實數的取值范圍為