Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點(diǎn)．

（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點(diǎn)為，且直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由定義可得，設(shè)切線的方程為，代入，得，由得，分類討論即可求出答案；

（2）由（1）可得點(diǎn)以線段為直徑的圓的方程為，根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正數(shù)，由可求得，聯(lián)立直線與拋物線方程并整理得，設(shè)，，利用韋達(dá)定理即可求出答案．

解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，

∴，故拋物線的方程為，

設(shè)切線的方程為，

代入，得，

由得，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，

當(dāng)時(shí)，同理可得，

綜上可得；

（2）由（1）知，，，

∴以線段為直徑的圓的方程為，

根據(jù)對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正數(shù)，

∵為直線與圓的切點(diǎn)，

∴，，∴，

∴，，

∴直線的方程為，

由，整理得，

∵，∴，

設(shè)，，則，，

∴，

∵，∴，

∴，

∴．