Question

【題目】底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.

（1）求證：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；

（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數量積運算即可.

（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.

由題意易知，，所以，，

因為，所以平面，

又平面，所以.

（2）設，，由已知可得：平面平面，

所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，

所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，

又，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，

，，由平面幾何知識，得.

則，，，，

所以，，.

設平面的法向量為，由，可得，

令，則，，所以.同理，平面的一個法向量為.

設平面與平面所成角為，

則，所以.