Question

求下列函數的值域
（1）y=1+sinx+cosx+

1

2

sin2x  x∈[-π，π]；
（2）y=-cos³xcosx．

Answer 1

分析：（1）根據解析式t=sinx+cosx，利用兩角和的正弦公式進行化簡后，由x的范圍求出t的范圍，由對t的式子兩邊平方后，由平方關系求出sinxcosx，代入解析式轉化為關于t的二次函數，對式子配方后利用二次函數的性質求出最值，就求出值域；
（2）把解析式化簡后，根據cosx的范圍，求出cos²x的范圍，進而求出函數的值域．

解答：解：（1）由題意得，y=1+sinx+cosx+

1

2

sin2x=1+sinx+cosx+sinxcosx
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），∵x∈[-π，π]，∴t∈[-

2

，

2

]；
且sinxcosx=

1

2

（t²-1），
代入解析式得，y=

1

2

t²+t+

1

2

=

1

2

（t+1）²，t∈[-

2

，

2

]，
當t=-1時，函數有最小值是0；當t=

2

時，函數有最大值是

3

2

+

2

，
∴函數的值域是[0，

3

2

+

2

]，
（2）由題意得，y=-cos³xcosx=y=-cos⁴x，
∵-1≤cosx≤1，∴0≤cos²x≤1，∴-1≤-cos⁴x≤0，
即函數的值域是[-1，0]．

點評：本題的考點是復合三角函數的值域的求法，主要利用換元法和“sinx+cosx”與“sinxcosx”的關系，注意由函數的定義域和正弦（余弦）函數的值域，求出換元后的自變量的范圍，根據二次函數的性質求出函數的值域．